Методы высшей математики в задачах физики часть 1

Alanbek Zhainazarov, Machalochka.com

Иногда в задачах по физике нас просят найти радиус кривизны траектории, а параметры, такие как скорость и ускорение, неизвестны.

Тогда мы можем воспользоваться формулой кривизны из многомерного анализа:

\[R - ?\] \[K = \frac{\left| \mathbf{r}^{\prime}(a) \times \mathbf{r}^{\prime\prime}(a) \right|}{\left| \mathbf{r}^{\prime}(a) \right|^3}\]

где $a$ — параметр, $\mathbf{r}(a)$ — радиус-вектор.

Полезность формулы в том, что можно использовать любой параметр $a$.

Пример

Архитектор моделирует траекторию участка горки с помощью функции:

\[\mathbf{r}(a) = \left( a,\ a^2,\ \frac{2}{3}a^3 \right),\]

где $a$ — параметр, $0 \leq a \leq 3$.

Найдите центростремительное ускорение в точке $\left(1,\ 1,\ \frac{2}{3}\right)$, если скорость в этот момент $V = 3\ \text{м/с}$.

Решение

Центростремительное ускорение выражается через кривизну траектории:

\[a_n = \frac{V^2}{R} = K V^2,\]

где

\[K = \frac{\left| \mathbf{r}^{\prime}(a) \times \mathbf{r}^{\prime\prime}(a) \right|}{\left| \mathbf{r}^{\prime}(a) \right|^3}.\]

Найдём производные радиус-вектора:

\[\mathbf{r}^{\prime}(a) = (1,\ 2a,\ 2a^2),\] \[\mathbf{r}^{\prime\prime}(a) = (0,\ 2,\ 4a).\]

Точка $\left(1,\ 1,\ \frac{2}{3}\right)$ соответствует значению параметра $a = 1$:

\[\mathbf{r}^{\prime}(1) = (1,\ 2,\ 2),\] \[\mathbf{r}^{\prime\prime}(1) = (0,\ 2,\ 4).\]

Вычислим векторное произведение:

\[\mathbf{r}^{\prime}(1) \times \mathbf{r}^{\prime\prime}(1) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (4,\ -4,\ 2).\]

Найдём модули полученных векторов:

\[\left| \mathbf{r}^{\prime}(1) \times \mathbf{r}^{\prime\prime}(1) \right| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16+16+4} = 6,\] \[\left| \mathbf{r}^{\prime}(1) \right| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = 3.\]

Кривизна траектории в данной точке:

\[K = \frac{6}{3^3} = \frac{2}{9}\ \text{м}^{-1}.\]

Центростремительное ускорение:

\[a_n = K V^2 = \frac{2}{9} \cdot 3^2 = 2\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\] \[\boxed{a_n = 2\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}\]