Методы высшей математики в задачах физики часть 2

Alanbek Zhainazarov, Machalochka.com

Всем привет! Сегодня будем решать одну прикольную задачу при помощи производной.

Условие: Катер отплывает от берега реки перпендикулярно течению. Его начальная скорость относительно воды равна 2 м/с, а само движение в системе отсчёта реки является равнозамедленным. По графику движения катера в координатах $x$ (вдоль берега) и $y$ (перпендикулярно берегу) найдите скорость течения реки и ускорение катера.

Решение

По условию: \(v_{y0}=2\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\) Наклон траектории с помощью параметра $t$:

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{v_y}{v_x}\]

В точке $(50;50)$ касательная к графику горизонтальна

\[\frac{v_y}{v_x}=0 \quad\Rightarrow\quad v_y=0\]

Так как в этой точке $v_y=0$, а зависимость скорости от времени $v_y=v_{y0}-at$, получаем:

\[v_{y0}-at=0 \quad\Rightarrow\quad v_{y0}=at\]

Пусть $L$:

\[L=50\ \text{м}\]

Перемещения по обеим осям к моменту времени $t$:

Вдоль берега:

\[v_xt=L\]

Поперёк берега:

\[v_{y0}t-\frac{at^2}{2}=L\]

Приравниваем правые части (обе равны $L$):

\[v_xt=v_{y0}t-\frac{at^2}{2}\]

Делим на $t$:

\[v_x=v_{y0}-\frac{at}{2}=v_{y0}-\frac{v_{y0}}{2}=\frac{v_{y0}}{2}\] \[\boxed{v_x=1\ \frac{\text{м}}{\text{с}}}\]

Находим время $t$ из уравнения по оси $x$:

\[t=\frac{L}{v_x}=\frac{50}{1}=50\ \text{с}\]

И наконец ускорение из $at=v_{y0}$:

\[a=\frac{v_{y0}}{t}=\frac{2\ \text{м/с}}{50\ \text{с}}\] \[\boxed{a=0{,}04\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}\]

Ответ

Скорость течения реки $v_x=1$ м/с, ускорение катера $a=0{,}04$ м/с².